04. Paradossi

I paradossi sono dei ragionamenti che apparentemente sono corretti ma che giungono a conclusioni paradossali, che vanno, cioè, contro l'opinione comune.

I paradossi ebbero origini antichissime, e si svilupparono autonomamente sia in Grecia che in Cina.

I due paradossi più famosi sono quelli del mentitore e di Achille e la tartaruga.

Paradosso del mentitore

La tradizione attribuisce la prima formulazione del paradosso a Epimenide di Creta (VI secolo a.C.), il quale, cretese egli stesso, affermò

i Cretesi sono bugiardi.

Se assumiamo che l'affermazione sia vera, allora sarebbe vero che Epimenide, in quanto cretese, è un bugiardo. Ma allora la sua affermazione i Cretesi sono bugiardi non sarebbe vera ed otteniamo una contraddizione. Se invece assumiamo che l'affermazione sia falsa, allora sarebbe vera la negazione di i Cretesi sono bugiardi, cioè sarebbe vero che alcuni cretesi dicono la verità e alcuni mentono. In questo caso non vi è alcuna contraddizione e possiamo identificare Epimenide come uno dei cretesi che mentono. Per quanto argomentato nel caso precedente, non può infatti esser vero che Epimenide dica la verità.

Eubulide di Mileto (IV secolo a.C.) riformulò l'affermazione di Epimenide dicendo:

io sto mentendo.

Da notare in primo luogo che la frase afferma che quello che sto dicendo in questo momento è una menzogna.

Questa frase non può essere vera, ma non può essere neanche falsa, perché c'è un elemento nuovo rispetto a tutti i Cretesi mentono. L'elemento nuovo è l'autoriferimento: Eubulide sta parlando di se stesso, cioè sta affermando di se stesso che mente, e questo non può essere né vero né falso.

Nella logica matematica un ragionamento che parte da presupposti validi e seguendo argomentazioni corrette porta ad una contraddizione è detto antinomìa.

Paradosso di Achille e la tartaruga

Il paradosso di Achille e la Tartaruga è il paradosso di Zenone più famoso. È stato proposto nel V sec. a.C. da Zenone di Elea per difendere le tesi del suo maestro Parmenide, che sosteneva che il movimento è illusione.

Il paradosso è così formulato:

Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga, simbolo di lentezza. Achille corre dieci volte più velocemente della tartaruga e le concede dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro; Achille percorre quel millimetro, la tartaruga percorre un decimo di millimetro, e così via all’infinito. In base a questo ragionamento Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

Da un punto di vista matematico il ragionamento è corretto ma la conclusione alla quale si giunge è errata. La spiegazione sta nel fatto che gli infiniti intervalli percorsi da Achille e presi in considerazione diventano sempre più piccoli. La somma di questi percorsi non totalizza mai la distanza necessaria ad Achille per raggiungere la tartaruga.

Prendiamo come esempio la seguente somma di frazioni:

indipendentemente dal numero di termini che la compone, essa non totalizza mai 1.

In sostanza il ragionamento ci porta a considerare quello che avviene prima che Achille raggiunga la tartaruga, analizzando infiniti spostamenti sempre più piccoli che precedono l'istante fatidico del raggiungimento.