08. Caso di studio

In questo esempio verrà utilizzata la logica proposizione per risolvere un semplice gioco di logica.

Arturo e Bernardo sono due abitanti dell'isola dei cavalieri e dei furfanti.

I cavalieri dicono sempre la verità mentre i furfanti mentono sempre.

Arturo afferma: "io e Bernardo siamo furfanti".

Bisogna stabilire Arturo e Bernardo a quale categoria appartengono.

Consideriamo le seguenti due proposizioni logiche:

a: Arturo è un cavaliere

b: Bernardo è un cavaliere

Sviluppiamo in forma estesa l'affermazione di Arturo:

Arturo è un furfante AND Bernardo è un furfante.

Osserviamo che la prima parte dell'affermazione di Arturo corrisponde alla negazione della proposizione "a" mentre la seconda alla negazione della proposizione "b", da cui discende che sinteticamente l'affermazione di Arturo può essere scritta nel seguente modo:

¬a ^ ¬b

Sarà vera una ed una sola delle seguenti possibilità:

• • Arturo è un cavaliere e la sua affermazione è vera

oppure

• • Arturo non è un cavaliere e la sua affermazione è falsa.

In formule:

a ^ (¬a ^ ¬b) V ¬a ^ ¬(¬a ^ ¬b )

Poiché a ^ (¬a ^ ¬b ) è sicuramente falsa (compare una proposizione in AND con la sua negata) l'espressione precedente semplificata diventa:

¬a ^ ¬(¬a ^ ¬b )

per De Morgan si ha:

¬a ^ (a V b )

Per la proprietà distributiva si ha ancora:

(¬a ^ a) V (¬a ^ b )

che semplificata è equivalente a

(¬a ^ b )

Questa espressione è vera quando "a" è falsa e "b" è vera, cioè Arturo è un furfante e Bernardo è un cavaliere.

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Sezione: 05. Logica Matematica

Capitolo: 08. Caso di studio

Indice dei capitoli: 00. Risorse - 01. Proposizioni logiche - 02. Tavola di verità - 03. Connettivi logici - 04. Implicazione inversa e contronominale - 05. Tautologia - 06. Leggi di De Morgan - 07. Proprietà distributiva - 08. Caso di studio - 09. Tutorial - 98. Esercizi