02. Soluzioni simboliche e numeriche

Un problema formulato matematicamente può avere una soluzione, più soluzioni, infinite soluzioni o anche non averne affatto.

Un buon esempio è data da una generica equazione di secondo grado:

ax^2 + bx + c = 0

Sappiamo che il numero di soluzioni dipende dal valore del delta:

    • Δ < 0: nessuna soluzione

    • Δ = 0: una soluzione (ovvero due soluzioni coincidenti)

    • Δ > 0: due soluzioni distinte.

Per risolvere un'equazione di secondo grado, ci avvaliamo di una formula generica nella quale compaiono i coefficienti a, b, c:

Per risolvere numericamente un'equazione di secondo grado, sarà sufficiente sostituire i valori numerici ai coefficienti a, b, c ed eseguire i calcoli.

Possiamo quindi dire che la precedente formula è la soluzione per una classe di problemi (calcolare la soluzione di un'equazione di secondo grado) e rappresenta una soluzione simbolica.

Purtroppo non sempre è agevole o possibile calcolare il valore numerico di una soluzione disponibile in forma simbolica.

La branca della matematica che si preoccupa di trovare soluzioni numeriche, anche se approssimate, per via algoritmica è il calcolo numerico.

Ricerca degli zeri di una funzione

Come esempio analizziamo come sia possibile risalire agli zeri di una funzione per via algoritmica, tramite il metodo della corda (o metodo delle secanti con estremo fisso).

Data una funzione f(x), il metodo richiede che sia preventivamente individuato un intervallo [a, b] per il quale risulti f(a) * f(b) < 0 e che contenga una sola radice di f(x).

Il procedimento, illustrato graficamente, prevede che si traccino in successione delle secanti s1, s2, ..., sn, ... e se ne valutino le intersezione con l'asse x, corrispondenti ai punti x1, x2, ..., xn, ....

Da un punto di vista matematico la successione x1, x2, ..., xn, .... converge a un punto x' tale che f(x') = 0. Il punto x' è quindi lo zero della funzione.

In termini algoritmici, il procedimento dovrà terminare quando risulterà | f(xn) | < ε, con ε scelto preventivamente piccolo a piacere. Esso individua una soluzione approssimata.